参考链接 https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/geometry-of-a-triangle

1、Geometry of a Triangle

首先你得知道三角形法线怎么计算。

然后，按照惯例，左手坐标系中的z轴指向屏幕方向（当x轴指向右侧时）

如图1，A叉乘B和B叉乘A不一样，模相同，但是方向相反。

再如上图，ccw和cw分别指counter-clockwise order和clockwise order。三颜色线表示三轴，ccw，cw表示叉乘的方向，可见得到的结果是反向的。

如上图，三颜色为三坐标轴，相机方向沿着z周的负方向，相机可以认为是人眼，人眼射出来的光线（做个比喻，实际上人眼是接受光线）沿着z轴负方向。在左右手坐标系中render不同。

为了使render结果相同，需要做一个关于XoY平面的对称变换，这样使得相机的方向仍然和法线的方向相反。

Ray-Triangle Intersection: Geometric Solution

第一步，找到光线和三角形的交点p。

光源0，光的方向R，则光的参数等式可以表达为 P = O + tR. 其中t是光源到点p的距离。因此为了找到P，我们需要知道t。平面的法向量，可以通过这个公式来计算：Ax+By+Cz+D=0. 其中，（A，B，C）就是平面的法向量，D是原点到平面的距离，x,y,z是平面上任意一点。于是我们可以计算出t

$\begin{array}{l} P = O + tR\\ Ax + By + Cz + D = 0\\ A * P_x + B * P_y + C * P_z + D = 0\\ A * (O_x + tR_x) + B * (O_y + tR_y) + C * (O_z + tR_z) + D = 0\\ A * O_x + B * O_y + C * O_z + A * tR_x + B * tR_y + C * tR_z + D = 0\\ t * (A * R_x + B * R_y + C * R_z) + A * O_x + B * O_y + C * O_z + D = 0\\ t = -{\dfrac{A * O_x + B * O_y + C * O_z + D}{A * R_x + B * R_y + C * R_z}}\\ t = -{\dfrac{ N(A,B,C) \cdot O + D}{N(A,B,C) \cdot R}} \end{array}$

当然有两种特殊情况，第一种是当光线和平面平行时，此时没交集。第二种是，当光源在三角形的背后时，此时公式仍然可以计算出t的，但是t时小于0的，此时这种情况也应该忽略。

第二步，p是否在三角形内

我们已经找到了光线和平面的交点P。仍需要判断是否在三角形内。

如上图所示，光线可能和三角形有交点也可能没有，这个判断方法也很简单，称作为inside-outside test。（栅格化时也能用到）。

如图所示，假设向量A已经和x轴对齐，A向量是三角形的一条边，由顶点v0v1确定。第二条边B，由V0V2确定，则，两个向量的叉积表示Z周，也就是三角形的法向量。

$\begin{array}{l} A=(1, 0, 0)\\ B=(1, 1, 0)\\ C_x = A_y B_z - A_z B_y = 0\\ C_y = A_z B_x - A_x B_z = 0\\ C_z = A_x B_y - A_y B_x = 1 * 1 - 0 * 1 = 1\\ C = (0, 0, 1) \end{array}$

如果B的坐标不是（1，1，0）而是（1，-1，0），此时得到的C‘=（0，0，-1）此时N点成C为负. 这说明当叉积和两条边的叉积同号时，再同一个方向。看图

由此可见，当NC为正时，都是在自己的左侧。然后一圈下来，

当点都在人的左侧时，说明这个点就在内部。意思就是说当叉积全部为正（同向）时，这个点就在内部。（逆时针走遍）。另外还有射线法，拓扑法等多种方法来判断是不是在多边形内部，具体可参考 https://blog.csdn.net/gkingzheng/article/details/81836308 这篇文章。

接下来时讨论single-side or double-side, 用兴趣的可以参考原文，这里不讨论。

质心坐标

在CG中，质心坐标尤其重要。质心p（这里指光线和三角形的交点，它的uvw不知道，需要计算）可以通过下面的公式进行计算。 $P=uA+vB+wC.$ 其中ABC时三角形的三个顶点，uvw就是质心坐标，它们时标量，切满足u+v+w = 1， uvw都是正数。当uvw是负数或者大于1时，说明点在三角形外。

质心坐标又称为区域坐标（ areal coordinates），尽管不是很常用，但也暗示了uvw与局部三角形有关系，看下图

三个子三角形cpa abp bcp，可以通过下面的公式计算质心坐标

$\begin{array}{l} u = {\dfrac{TriangleCAP_{Area}}{TriangleABC_{Area}}}\\ v = {\dfrac{TriangleABP_{Area}}{TriangleABC_{Area}}}\\ w ={\dfrac{TriangleBCP_{Area}}{TriangleABC_{Area}}}\\ \end{array}$

其中三角形的面积可以通过两个向量的叉积来计算，这样就很容易的计算出质心坐标。

Using Barycentric Coordinates

对于每个顶点，都会储存数据，这叫vertex data。现在我们假设你希望A点是红色，B点是绿色，C点是蓝色。

显然，当光线和三角形交点的是三角形顶点时，直接拿数据就行，最容易。但是当交点在三角形内部或者边上时就比较麻烦。此时可以使用质心作弊爱哦来插值像素数据，这对shading过程，比如交点处的normal非常有用。一个object的Normal可以定义为每个面或者每个顶点basis（也即是face normal 和 vertex normal）。如果被定义为每个顶点，我们可以使用这个插值技巧来模拟一个平滑的shading，当这个三角形在理论上恶认为时平坦的。（由于交点处的normal是由每个点的normal决定，所以要保证每个顶点的normal相同）对于纹理的插值，同样适合。

Optimizing The Computation Of Barycentric Coordinates

上述的计算过程也可以优化，具体表现为，判断点是否在内部时，已经计算过叉积，计算三角形面积时，因为是求面积的比例，所以这里叉积后可以不除以2.

即

$\begin{array}{l} v = {\dfrac{triangleABP_{area}}{triangleABC_{area}}}\\ = {\dfrac{||AB \times AP||}{||AB \times AC||}} \end{array}$

$\begin{array}{l}v = {\dfrac{triangleABP_{area}} {triangleABC_{area}}} = {\dfrac{(AB \times AP) \cdot N}{(AB \times AC) \cdot N}} \end{array}$

First remember that $N = A B \times A C$ . Therefore we can rewrite the above above formula as:

$\begin{array}{l} v = {\dfrac{triangleABP_{area}}{triangleABC_{area}}} = {\dfrac{(AB \times AP) \cdot N}{N \cdot N}} \end{array}$

Möller-Trumbore algorithm

这里一定要看看，由于公式复杂，就不转载了，详情直接点击原链接

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渲染三角形(Rendering a Triangle）